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? ? ? 以往常認(rèn)為祖沖之是中國古代最偉大的數(shù)學(xué)家，但他的數(shù)學(xué)著作《綴術(shù)》由于隋唐算學(xué)館的學(xué)官“莫能究其深?yuàn)W，是故廢而不理”，早已失傳，而我們所知道的他的兩項(xiàng)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)——將圓周率精確到8位有效數(shù)字以及與兒子祖暅共同完成的球體的體積公式推導(dǎo)，卻都由劉徽為其提供了方法上的解說。

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　　魏景元四年（263）劉徽撰《九章筭術(shù)注》，至今恰好1750周年。

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　　《九章筭術(shù)》是中國古代最重要的數(shù)學(xué)著作，它系統(tǒng)總結(jié)了中國先秦至西漢的數(shù)學(xué)成就，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架及其以算法為主的特點(diǎn)。其分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、方程（多元一次線性方程組）解法和對(duì)面積與體積的計(jì)算等長期領(lǐng)先于世界水平。劉徽的注十分難讀，長期未得到理解，學(xué)術(shù)界因此把他看成是依附于《九章筭術(shù)》的二流數(shù)學(xué)家，這是極不公正的。

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　　劉徽是中國數(shù)學(xué)史上批評(píng)《九章筭術(shù)》最多的數(shù)學(xué)家

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　　《九章筭術(shù)注》原十卷，第十卷“重差”系自撰自注，后以《海島算經(jīng)》為名單行，與《九章筭術(shù)》并列于《算經(jīng)十書》。劉徽還撰《九章重差圖》一卷，已失傳。劉徽生平不詳，根據(jù)有關(guān)史料，其籍貫是淄鄉(xiāng)，屬今山東省鄒平縣。他大約生于3世紀(jì)20年代后期或稍后，完成《九章筭術(shù)注》時(shí)，年僅30歲上下。

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　　漢末至魏晉是我國繼春秋戰(zhàn)國百家爭鳴之后第二次思想大解放時(shí)期。劉徽深受思想界辯難之風(fēng)的影響，注《九章筭術(shù)》的宗旨是“析理以辭，解體用圖”。反對(duì)讖緯迷信，是他治學(xué)的一大特點(diǎn)，如《世本》有“隸首作數(shù)”的說法，但劉徽說“其詳未之聞也”。漢代盛行讖緯，如大科學(xué)家張衡也未能免俗，劉徽批評(píng)張衡“欲協(xié)其陰陽奇耦之說而不顧疏密矣”，而他自己的數(shù)學(xué)知識(shí)中，沒有任何猜測或神秘的成分。

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　　劉徽也不迷信古人?！毒耪鹿g術(shù)》最遲在東漢已被官方奉為經(jīng)典，劉徽為之作注，推崇之余還指出了它的若干不準(zhǔn)確甚或錯(cuò)誤之處，他是中國數(shù)學(xué)史上批評(píng)《九章筭術(shù)》最多的數(shù)學(xué)家。

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　　劉徽還敢于承認(rèn)自己的不足，并寄希望于后學(xué)。他設(shè)計(jì)了牟合方蓋，指出得到解決球體積公式的正確途徑。然而他功虧一簣，沒能求出牟合方蓋的體積，便老老實(shí)實(shí)地說：“欲陋形措意，懼失正理，敢不闕疑，以俟能言者。”正反映了科學(xué)家本色。

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　　劉徽還善于靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，反對(duì)“膠柱調(diào)瑟”，而常常在《九章筭術(shù)》 的原文之外提出新的方法與思路。甚至有時(shí)他明知自己提出的新方法不如原來的簡便，但仍如此，用他自己的話說，是為了“廣異法也”。

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　　證明割圓術(shù)和“劉徽原理”

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　　劉徽除了發(fā)展出入相補(bǔ)原理、率的思想和重差術(shù)的重大貢獻(xiàn)之外，最重要的是他對(duì)割圓術(shù)和“劉徽原理”的證明。

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　　20世紀(jì)70年代末之前半個(gè)世紀(jì)，劉徽的割圓術(shù)和對(duì)圓周率的計(jì)算是中國數(shù)學(xué)史界討論最多的課題。但遺憾的是，所有的著述都忽視了其主旨——證明《九章筭術(shù)》的圓面積公式，且大部分對(duì)其求圓周率程序的表述也背離了劉徽注本身。

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　　《九章筭術(shù)》提出了圓面積公式：“術(shù)曰：半周半徑相乘得積步?！眲⒒罩暗耐茖?dǎo)方法實(shí)際上沒有證明這個(gè)公式，而他提出了使用極限思想和無窮小分割的證明方法。他首先從圓內(nèi)接正6邊形開始割圓，逐步得到正12、24、48……邊形。圓內(nèi)接正多邊形的面積，小于圓面積，但分割至“不可割”之時(shí)，上述兩者便會(huì)完全“合體”。另外，如果以圓半徑與圓內(nèi)接正多邊形的邊心距之差乘其邊長，則得到的圓內(nèi)接正多邊形面積大于圓面積。但此兩者合體時(shí)，便不會(huì)出現(xiàn)這種情況。換言之，劉徽從上界序列與下界序列的極限兩個(gè)角度，求出了圓面積。劉徽說：“以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪?！彼麑⑴c圓合體的正無窮多邊形再分割成以圓心為頂點(diǎn)，以每邊為底的無窮多個(gè)小等腰三角形。由于每個(gè)小等腰三角形的高與其底的乘積是其面積的2倍，則將它們?nèi)肯嗉?，就?個(gè)圓面積。而所有這些小等腰三角形的底邊之和是圓周長，那么一個(gè)圓的面積就是圓周長的一半乘半徑，這便證明了《九章筭術(shù)》中的圓面積公式。

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　　接著劉徽說，“此以周、徑，謂至然之?dāng)?shù)”，而此數(shù)就是圓周率。劉徽仍從直徑為2尺的圓的內(nèi)接正6邊形開始割圓，利用勾股定理，計(jì)算出各多邊形的邊長以及正192邊形的面積的整數(shù)部分平方寸作為圓面積的近似值，代入剛剛證明了的圓面積公式，反求出圓周長的近似值6尺2寸8分，即“以半徑一尺除圓冪，倍所得，六尺二寸八分，即周數(shù)”?！傲顝蕉吲c周六尺二寸八分相約，周得一百五十七，徑得五十”，也就是說圓周率為157/50，相當(dāng)于3.14。

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　　近代數(shù)學(xué)大師高斯曾提出一個(gè)猜想：多面體體積的解決不借助于無窮小分割是不是可能的？這一猜想構(gòu)成了希爾伯特1900年的《數(shù)學(xué)問題》的第3問題的基礎(chǔ)。實(shí)際上，早在1600多年前，劉徽在證明《九章筭術(shù)》中的陽馬和鱉腝的體積公式時(shí)，就接觸了高斯猜想和希爾伯特第3問題。

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　　中國古代在多面體分割中，開始從一個(gè)長方體沿相對(duì)兩棱剖開，得到兩個(gè)楔形體，叫做塹堵。再將一個(gè)塹堵從一個(gè)頂點(diǎn)到底面一邊剖開，得到一個(gè)錐體，其高的垂足在底面的一角上，叫做陽馬；剩下的便是四面皆為勾股形的四面體，叫做鱉腝。為了證明《九章筭術(shù)》中的體積公式，劉徽提出了一個(gè)重要原理：“邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉腝。陽馬居二，鱉腝居一，不易之率也?！眲⒒杖允褂脴O限思想和無窮小分割方法證明了這個(gè)原理。

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　　“劉徽原理”是其多面體體積理論的基礎(chǔ)。劉徽將此理論建立在無窮小分割的基礎(chǔ)上，這與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的體積理論驚人地一致。

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　　劉徽對(duì)演繹推理的發(fā)展

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　　中國古代數(shù)學(xué)缺乏演繹推理，一直是學(xué)術(shù)界的主流看法。事實(shí)上，只要讀懂劉徽注就會(huì)發(fā)現(xiàn)，他在數(shù)學(xué)命題的證明中主要使用了演繹法，涉及了演繹邏輯最重要的推理形式。比如對(duì)“盈不足術(shù)”劉徽注云：“注云若兩設(shè)有分者，齊其子，同其母。此問兩設(shè)俱見零分，故齊其子，同其母?！边@個(gè)推理完全符合三段論的規(guī)則，是其第一格的AAA式。

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　　劉徽注中還有數(shù)學(xué)歸納法的雛形。比如在對(duì)“劉徽原理”的證明中，劉徽首先通過第一次分割證明了在整個(gè)塹堵的3/4中陽馬與鱉腝的體積之比為2∶1。他進(jìn)一步認(rèn)為第一次分割可以無限遞推，說：“按余數(shù)具而可知者有一、二分之別，即一、二之為率定矣。其于理也豈虛矣。若為數(shù)而窮之，置余廣、袤、高之?dāng)?shù)各半之，則四分之三又可知也。半之彌少，其余彌細(xì)。至細(xì)曰微，微則無形。由是言之，安取余哉？”

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　　人們常說《九章筭術(shù)》建立了中國古代的數(shù)學(xué)體系。這種提法似是而非。實(shí)際上《九章筭術(shù)》僅構(gòu)筑了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，直到劉徽完成《九章筭術(shù)注》，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)才形成了理論體系。方法的改變，必然導(dǎo)致一個(gè)學(xué)科內(nèi)部結(jié)構(gòu)的相應(yīng)改變。劉徽的注釋不是對(duì)《九章筭術(shù)》數(shù)學(xué)框架的簡單補(bǔ)充，而是對(duì)其的根本改造。

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